La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La probabilidad es un evento o suceso que puede ser improbable, probable o seguro.
Criterios de probabilidad
Teoría de probabilidades
La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones:
Suceso
Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.
Espacio muestral
Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).
Suceso aleatorio
Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Probabilidad simple.
La probabilidad simple es igual a la cantidad de formas en que un resultado especifico va a suceder entre la cantidad total de posibles resultados. Esta regla expresa la probabilidad de que ocurra un suceso A y un suceso B.
Ejercicios:
Cantidad de formas en que un resultado específico va a suceder Probabilidad =
Cantidad total de posibles resultados Ejemplo: Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?Solución:
- Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)
- 68 ÷ 87 = 0.781609
- Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)
1. Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2: el caso favorable (f) es tan sólo uno (que salga el dos), mientras que los casos posibles (n) son seis (puede salir cualquier número del uno al seis).
Por lo tanto:
(o lo que es lo mismo, 16,6%)
2.Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par: en este caso los casos favorables (f) son tres (que salga el dos, el cuatro o el seis), mientras que los casos posibles (n) siguen siendo seis.
Por lo tanto:
3.Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número menor que 5: en este caso tenemos cuatro casos favorables (f) (que salga el uno, el dos, el tres o el cuatro), frente a los seis casos posibles.
Por lo tanto:
4.Probabilidad de ganarse el premio mayor de una lotería en la que juegan 100.000 números: tan sólo un caso favorable (f), el número que jugamos, frente a los 100.000 casos posibles (n).
Por lo tanto:
5.Probabilidad al lanzar una moneda, con un águila en una cara y un sol en la otra. Hay dos casos posibles (n) de ocurrencia (o cae águila o cae sol) y sólo un caso favorable (f) de que pueda caer águila (pues sólo hay un águila en la moneda).
Por lo tanto:
Existe una probabilidad del 50% de obtener un águila al tirar una moneda.
6.Probabilidad de elegir tal o cual fruta. Si en una canasta hay 20 peras y 10 manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta?
Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos posibles (n). Para calcular la probabilidad de sacar una manzana los casos favorables (f) son 10 puesto que existen sólo 10 manzanas.
Por lo tanto:
Probabilidad conjunta
Esta regla expresa la probabilidad de que ocurra un suceso A y un suceso B.
Puede ocurrir de dos formas:
-Que el segundo suceso dependa del primero o que ningún suceso dependa del otro, por lo tanto veremos estas dos formas:
Sucesos dependientes: P(AnB)=P(A)*P(A/B)
Suceso independiente: P(AnB)=P(A)*P(B)
Ejercicios:
1.-La probabilidad de sacar dos lápices negros es:
P=(2/5)(1/4)
P=2/20
P= 1/10
2.-En una tómbola hay 3 bolas rojas y 5 blancas. Se extraen unaa una y sin reposición, dos bolas. La probabilidad de que ambas resulten rojas es:
Solución:
Los eventos de extracción son independientes, por lo tanto, la probabilidad pedida
será el producto de cada una de las probabilidades individuales. La 1º extracción tiene 3 casos favorables de untotal de 8 bolas. La probabilidad es 3/8. La 2º tiene 2 casos favorables de un total de7 bolas que quedan. Su probabilidad es 2/7 Así, la probabilidad pedida es
P=(3/8)(2/7)
P=(3/4)(1/7)
P=3/28
3.-Desde una tómbola en la que sólo hay 5 bolitas, 2 negras y 3 rojas, se extraen dos, de una en una y sin reposición. Entonces, la probabilidad de que ambas resulten negras es:
Solución: Los eventos de extracción son independientes, por lo tanto, la probabilidad pedida será el producto de cada una de las probabilidades individuales. La 1º extracción tiene 2 casos favorables de un total de 5 bolas. Su probabilidad es 2/5. La 2º extracción tiene 1 caso favorable de un total de 4 bolas que quedan. Su probabilidad es 1/4 .Así, la probabilidad pedida es
P= (2/5)(1/4)
P= (1/5)(1/2)
P= 1/10
4.-En una urna hay 10 fichas blancas y 5 azules. La probabilidad de que, de dos fichas extraídas una tras otra sin devolución, la primera ficha sea blanca y la segunda sea azul es:
Solución:
Sea B ≡La primera ficha sea blanca.
A ≡La segunda ficha sea azul.
La probabilidad pedida es P (B) •P(A) ,(casos favorables/casos totales), así:
P (B)*P(A)
P= (10/15)(5/14)
P= (5/3) (1/7)
P=5/21
5.-Se extraen dos cartas de una baraja española, una después de la otra sin devolución. La probabilidad que la segunda cartasea un rey, dado que la primera carta fue rey de bastos es:
Solución:
La baraja española consta de 4 reyes en 40 cartas. Después de la 1era extracción quedan 3 reyes en un total de 39 cartas. Entonces, la probabilidad pedida es
P=3/39
P=1/13
6.-Si Pedro tiene un llavero con 4 llaves y solo una de ellas abre una puerta. ¿Cuál es la probabilidad de que si prueba las llaves, logre abrir la puerta al tercerintento sin usar una llave más de una vez?
Solución:
En el primer y segundo intento falla, por lo que hay que considerar solo como casos favorables aquellos en que la llave no es correcta. En el tercer intento hay que considerar como caso favorable únicamente el caso en que la llave es correcta. Como además no se repite ninguna llave, de un intento a otro habrá una llave menos. La probabilidad pedida es:
P(abre 3º intento) =
P(falla en 1º intento) •P(falla en 2º intento) •P(acierta en 3º intento)
P(abre 3º intento) = (3/4)(2/3)(1/2)
P(abre 3º intento) = 6/24
P(abre 3º intento) = 1/6
Aplicación de la regla de adicción en la
probabilidad.
Si A y B son dos eventos no mutuamente excluyentes (eventos intersecantes), es decir, de modo que ocurra A o bien B o ambos a la vez (al mismo tiempo), entonces se aplica la siguiente regla para calcular dicha probabilidad:
Ejercicios:
1.- Sea A el suceso de sacar un As de una baraja estándar de 52 cartas y B sacar una carta con corazón rojo. Calcular la probabilidad de sacar un As o un corazón rojo o ambos en una sola extracción.
Solución:
A y B son sucesos no mutuamente excluyentes porque puede sacarse el as de corazón rojo.
Las probabilidades son:
Reemplazando los anteriores valores en la regla general de la adición de probabilidades para eventos no mutuamente excluyentes se obtiene:
2.- En una urna existe 10 bolas numeradas del 1 al 10. ¿Qué probabilidad existe de sacar en una sola extracción una bola enumerada con un número par o con un número primo?
Solución:
O también, realizando un diagrama de Venn-Euler se obtiene:
3.- En una clase, 10 alumnos tienen como preferencia solamente la asignatura de Matemática, 15 prefieren solamente Estadística, 20 prefieren Matemática y Estadística y 5 no tienen preferencia por ninguna de estas asignaturas. Calcular la probabilidad que de un alumno de la clase seleccionado al azar tenga preferencia por Matemática o Estadística o ambas asignaturas.
Solución:
Realizando un diagrama de Venn-Euler se obtiene:
Simbología:
S = espacio muestral
A= Matemática
B = Estadística
a = Solamente Matemática
b = Solamente Estadística
c = Matemática y Estadística
d = Ninguna de las dos asignaturas
Datos y cálculos:
Entonces, aplicando la fórmula de la probabilidad teórica se obtiene:
Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:
4.- En un grupo de 50 personas, 6 tienen como preferencia solamente el color amarrillo, 10 prefieren solamente el color blanco, 6 prefieren el color amarrillo y blanco, 10 prefieren el color blanco y café, 12 prefieren el color amarrillo y café, 4 prefieren los 3 colores y 10 no tienen preferencia por ninguno de los tres colores.
4.1) Elaborar un diagrama de Venn-Euler
4.2) Calcular la probabilidad que de una persona del grupo seleccionada al azar tenga preferencia por lo menos uno de los tres colores.
Solución:
4.2)
Entonces, aplicando la fórmula de la probabilidad teórica se obtiene:
Nota:
Si A, B y C son tres eventos cualesquiera de modo que ocurra A o bien B o bien C o bien los tres a la vez se emplea la regla:
Observando el diagrama de de Venn-Euler se tiene que:
Reemplazando valores en la regla se obtiene:
Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:
Si A y B son dos eventos dependientes, es decir, si la ocurrencia de A afecta la probabilidad de ocurrencia de B, entonces, dicha probabilidad de calcula empleando la siguiente regla:
Nota:
La probabilidad del evento B, calculada bajo la suposición de que el evento A ha ocurrido, se denomina probabilidad condicional de B, dado A, y se denota por P (B/A).
1. De una baraja estándar de 52 cartas sea A el suceso de sacar un As en la primera extracción y B sacar un As en la segunda extracción. Calcular la probabilidad de sacar dos Ases en dos extracciones sin devolver la carta extraída.
Solución:
A y B son sucesos dependientes porque la ocurrencia de A afecta la probabilidad de ocurrencia de B.
La probabilidad de que la primera carta sea un As es:
Reemplazando los anteriores valores en la regla general de la multiplicación de probabilidades para eventos dependientes se obtiene:
2. Sea A el suceso de sacar un As de una baraja estándar de 52 cartas y B sacar un Rey de corazón rojo. Calcular la probabilidad de sacar un As y un Rey de corazón rojo en dos extracciones sin devolver la carta extraída.
Solución:
A y B son sucesos dependientes porque la ocurrencia de A afecta la probabilidad de ocurrencia de B.
La probabilidad de que la primera carta sea un As es:
Reemplazando los anteriores valores en la regla general de la multiplicación de probabilidades para eventos dependientes se obtiene:
3. En una clase de 50 alumnos, 10 alumnos tienen como preferencia solamente la asignatura de Matemática, 15 prefieren solamente Estadística y 5 no tienen preferencia por ninguna de estas asignaturas. Calcular la probabilidad que de un alumno de la clase seleccionado al azar tenga preferencia por
4.1) Matemática y Estadística.
4.2) Estadística y Matemática
Solución:
Realizando un diagrama de Venn-Euler se obtiene:
Simbología:
S = espacio muestral
A= Matemática
B = Estadística
a = Solamente Matemática
b = Solamente Estadística
c = Matemática y Estadística
d = Ninguna de las dos asignaturas
Datos y cálculos:
a = 10
b = 15
c = S - a - b - d = 50 - 10 - 15 - 5 = 20
d = 5
S = 50
4.1) Matemática y Estadística.
O también, observando el diagrama de Venn-Euler se tiene directamente la probabilidad solicitada:
La suposición de que el alumno seleccionado tenga preferencia por Matemática significa que sólo consideremos el conjunto A, de los 30 elementos de A, sólo 20 tienen preferencia por Estadística. Por lo tanto la probabilidad condicional P(B/A) = 20/30 = 2/3
O también, observando el diagrama de Venn-Euler y aplicando la fórmula de la probabilidad condicional se tiene:
Reemplazando valores en la regla de la multiplicación para eventos dependientes se obtiene:
4.2) Estadística y Matemática.
O también observando el diagrama de Venn-Euler se tiene directamente la probabilidad solicitada:
La suposición de que el alumno seleccionado tenga preferencia por Estadística significa que sólo consideremos el conjunto B, de los 35 elementos de B, sólo 20 tienen preferencia por Matemática. Por lo tanto la probabilidad condicional P(A/B) = 20/35 = 4/7
Reemplazando valores en la regla general de la multiplicación:
Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:
Notas:
En los eventos dependientes se cumple:
4.- De una tómbola que contiene 3 bolas rojas y 5 blancas, Mathías extrae tres bolas, sin volver a la tómbola la bola extraída, calcular la probabilidad de que las 3 bolas extraídas sean:
6.1) Rojas
6.2) 2 rojas y una blanca
6.3) Una roja y 2 blancas
6.4) 3 blancas
Solución:
6.1) Rojas
En 3 sucesos la fórmula de la regla general de probabilidades es:
Reemplazando valores en la regla general de de la multiplicación se obtiene:
O también, elaborando un diagrama de árbol se tiene todas las probabilidades:
En el diagrama de árbol, la probabilidad correspondiente a cada rama del árbol corresponde a la probabilidad condicional de que ocurra el evento específico, dado que han ocurrido los eventos de las ramas precedentes. Al describir un evento mediante una trayectoria a través del diagrama de árbol, la probabilidad de que ocurra dicho evento es igual a producto de las probabilidades de las ramas que forman la trayectoria que representa al mencionado evento.
La solución empleando el diagrama de árbol para 
es multiplicando las ramas RRR, es decir,
es multiplicando las ramas RRR, es decir,
Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:
Regla particular o especial para eventos independientes
Si A y B son dos eventos independientes, es decir, si el conocimiento de la incidencia de uno de ellos no tiene efecto en la probabilidad de ocurrencia del otro, entonces, para calcular la probabilidad de dichos eventos se aplica la siguiente regla:
Nota: Dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro, esto es, si 
Ejercicios:
1. De una baraja estándar de 52 cartas sea A el suceso de sacar un As en la primera extracción y B sacar un Rey en la segunda extracción. Calcular la probabilidad de sacar un As y un Rey en dos extracciones devolviendo la carta extraída.
Solución:
A y B son sucesos independientes porque la ocurrencia de A afecta la probabilidad de ocurrencia de B.
La probabilidad de que la primera carta sea un As es:
Reemplazando los anteriores valores en la regla particular de la multiplicación se obtiene:
2. Una pareja de esposos desean tener 3 hijos. Suponiendo que las probabilidades de tener un niño o una niña son iguales, calcular la probabilidad de éxito en tener hombre en el primer nacimiento, mujer en el segundo nacimiento y hombre en el tercer nacimiento.
Solución:
M = mujer
H = hombre
Elaborando un diagrama de árbol se tiene todas las probabilidades:
Entonces,
Probabilidad condicional y Teorema de Bayes
Es la probabilidad de que ocurra un evento considerando dentro de la probabildiad de otro evento dado.
Se indica así P(A|B), lo cual siginifica que queremos obtener la probabilidad de A a partir de la probabilidad de B. (A dado B)}
Dos eventos son independientes cuando la probabilidad de uno no influencia la probabilidad del otro.
"Independencia de eventos es lo mismo que eventos mutuamente exclusivos"
El teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir, que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza. Muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.
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un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0). Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales 
. Entonces, la probabilidad 
viene dada por la expresión:
son las probabilidades a priori.
en la hipótesis 
.Ejercicios:
1. En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar.
a. Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.
b. Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña.
SOLUCIÓN:
Se definen los sucesos:
Suceso H: seleccionar una niña.
Suceso V: seleccionar un niño.
Suceso M: infante menor de 24 meses.
En los ejercicios de probabilidad total y teorema de bayes, es importante identificar los sucesos que forman la población y cuál es la característica que tienen en común dichos sucesos. Estos serán los sucesos condicionados.
a. En este caso, la población es de los infantes. Y la característica en común es que sean menores de 24 meses. Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar un infante menor de 24 meses es un ejemplo de probabilidad total. Su probabilidad será:
b. Para identificar cuando en un ejercicio se hace referencia al teorema de bayes, hay que partir de reconocer esta es una probabilidad condicionada y que la característica común de los sucesos condicionantes ya ha ocurrido. Entonces, la probabilidad de que sea niña una infante menor de 24 meses será:
2. Un médico cirujano se especializa en cirugías estéticas. Entre sus pacientes, el 20% se realizan correcciones faciales, un 35% implantes mamarios y el restante en otras cirugías correctivas. Se sabe además, que son de genero masculino el 25% de los que se realizan correcciones faciales, 15% implantes mamarios y 40% otras cirugías correctivas. Si se selecciona un paciente al azar, determine:
a. Determine la probabilidad de que sea de género masculino
b. Si resulta que es de género masculino, determine la probabilidad que se haya realizado una cirugía de implantes mamarios.
SOLUCIÓN:
Se definen los sucesos:
Suceso F: pacientes que se realizan cirugías faciales
Suceso M: pacientes que se realizan implantes mamarios
Suceso O: pacientes que se realizan otras cirugías correctivas
Suceso H: pacientes de género masculino
a. La probabilidad de que sea de género masculino se refiere a un problema de probabilidad total, ya que es el suceso condicionado y las cirugías los condicionantes. Dicho valor será:
b. Como el suceso condicionado ha ocurrido entonces se aplica el teorema de bayes, luego, el valor de la probabilidad será:
3. Un Doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar ecosonogramas. El uso que le da a cada equipo es de 25% al primero, 35% el segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienen probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado de una ecografía y observa que tiene un error. Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato.
SOLUCIÓN:
Se definen los sucesos:
Suceso P: seleccionar el primer aparato
Suceso S: seleccionar el segundo aparato
Suceso T: seleccionar el tercer aparato
Suceso E: seleccionar un resultado con error
Se puede observar que la pregunta es sobre determinar la probabilidad de que un examen errado sea del primer aparato, es decir, ya ha ocurrido el error. Por lo tanto, debemos recurrir al teorema de bayes. Claro está, que es necesario de igual forma obtener la probabilidad de que los aparatos produzcan un resultado erróneo, por lo tanto:
